数学的精髓不是对错
偶尔会听人这么说：人生不像数学，没有对错，只要精彩就行。
数学，在许多人的观念里，是一个最最「铁面无私」、只认对错的范畴。数学就是一个讲对错的地方，而别的学科（比如人文学科）就没有那么非黑即白。
我觉得这种讲法固然有理，但是总给人一点点……外行的感觉？就有点像「音乐最重要的就是要好听」这样的观点。
其实数学里有一个词比 incorrect 更可怕，那就是 trivial——这个词一般译作「平凡」。数学家说起 trivial 的时候，往往带着一种鄙夷的口气，「那么明显正确的东西，我脑细胞都不用死一个就知道了」。可见数学研究真正原动力并不是对错，而是「有趣」。一个数学概念一旦 trivial 了，那就比 incorrect 更不值钱。
以下的数学公式在某些 RSS 阅读器里可能无法正确显示。
数学是一个人类创造出来的理想世界，所以我们可以在数学的世界里创造任何东西，包括错误的东西，只要通过公理强行定义就可以了，比如前几天刚提到过的单点紧化，或者是更加有名的 ，就是把错误的、不存在的东西强行定义出来。结果「错误」本身非但不是问题，反而让数学变得无比有趣。比如还有一个非常逆天的例子：
你没看错——所有的正整数之和等于 -1/12。这么鬼畜的结论，在物理里的量子场论中居然有实际意义！我其实不懂量子场论，就不在这里装蒜了，感兴趣的可以移步到知乎。1
不过也可以举一个反例，就是许多人小的时候也许都尝试过的「定义 1/0」——如果 -1 都能开根号，为什么不能定义一个数来表示 1/0 呢？
假设我们把 1/0 定义成 🤔 好了。假设 🤔 能够像别的实数一样运算的话，那么根据乘法结合律可以得 (🤔×0)×0=🤔×(0×0)，但前者 (🤔×0)×0=1×0=0，而后者 🤔×(0×0)=🤔×0=1，这就矛盾了。于是我们只能假设 🤔 是不符合结合律的。还可以举出其他例子来证明 🤔 还不能满足其他各种运算法则，最后 🤔 只能孤零零地成为一个奇怪的符号，无法参与任何有意义的运算。不是说 🤔 本身是一个错误，而是即便把它定义出来，它也很无聊，不能为数学世界增光添彩。
数学其实无所谓对错的，只要精彩就行。